"向量乘法公式：oa向量乘以ob向量等于"

在数学中，当我们谈论向量乘法时，我们通常指的是两个向量的点积（内积）或叉积。这两种运算的结果分别对应于标量乘法和矢量加法。

一、标量乘法（点积）

如果有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，那么它们的点积（也称为标量乘法）定义为：

$$ vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$

其中 $a_i$ 和 $b_i$ 分别是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在各自基向量上的分量。

二、向量加法（矢量加法）

如果有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，那么它们的向量加法（也称为矢量加法）定义为：

$$ vec{a} + vec{b} = (a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) $$

这里的加法是逐项进行的，结果是一个具有三个分量的新向量。

三、向量乘法（叉积）

如果有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，那么它们的向量乘法（也称为叉积）定义为：

$$ vec{a} times vec{b} = begin{vmatrix}

hat{i} & hat{j} & hat{k}

a_1 & a_2 & a_3

b_1 & b_2 & b_3

end{vmatrix} $$

这里，$hat{i}$, $hat{j}$, 和 $hat{k}$ 是单位向量，分别指向x轴、y轴和z轴的方向。这个行列式展开后得到一个三维向量，其分量为：

$$ c_1 = a_2b_3
• a_3b_2, quad c_2 = a_1b_3 - a_3b_1, quad c_3 = a_1b_2 - a_2b_1 $$

这就是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的叉积。

四、向量的平方和模长

对于任何两个非零向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，它们的向量平方（也称为向量的范数）定义为：

$$ (vec{a})^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 $$

$$ (vec{b})^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 $$

向量的模长（或欧几里得范数）是这些平方和的一半，即：

$$ ||vec{a}|| = sqrt{vec{a}^2} = sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $$

$$ ||vec{b}|| = sqrt{vec{b}^2} = sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $$

五、向量的混合积

如果有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，那么它们的混合积（也称为叉积和标量乘法的组合）定义为：

$$ vec{a} times (vec{b} cdot vec{c}) = vec{a} times vec{b} + vec{a} cdot vec{c} $$

这里的 $vec{c}$ 是另一个向量。这个表达式首先计算了向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的叉积，然后计算了这个叉积与向量 $vec{c}$ 的点积。

以上是向量乘法的基本概念和公式。