给定两个长度为1的平面向量OA OB

首先，我们需要明确两个长度为1的平面向量OA和OB的定义。假设这两个向量分别是单位向量$vec{a}$和$vec{b}$，那么它们的模长都是1。

向量表示

在二维空间中，一个长度为1的向量可以表示为：

$$ vec{a} = (x_a, y_a) $$

$$ vec{b} = (x_b, y_b) $$

其中$(x_a, y_a)$和$(x_b, y_b)$是向量$vec{a}$和$vec{b}$在直角坐标系中的坐标。

向量加法

对于两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的点积（内积）定义为：

$$ vec{a} cdot vec{b} = x_a x_b + y_a y_b $$

向量减法

向量$vec{a}$减去向量$vec{b}$的结果是一个长度为1的向量，其方向与$vec{a}$相反，即：

$$ vec{a}
• vec{b} = (x_a - x_b, y_a - y_b) $$

向量叉乘

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的叉乘结果是一个长度为1的向量，其方向垂直于两向量所在平面，且与$vec{a}$和$vec{b}$的夹角为$90^circ$。这个向量的模长等于$sqrt{vec{a} cdot vec{b}}$，其坐标为：

$$ vec{a} times vec{b} = (costheta, sintheta) $$

其中$theta$是两向量之间的夹角。

向量数乘

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的数乘结果是一个长度为1的向量，其方向由$vec{a}$和$vec{b}$的夹角决定。这个向量的模长等于$sqrt{vec{a} cdot vec{b}}$，其坐标为：

$$ vec{a} cdot vec{b} = (x_a x_b + y_a y_b) $$

向量除法

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的除法结果是一个长度为1的向量，其方向由$vec{a}$和$vec{b}$的夹角决定。这个向量的模长等于$sqrt{vec{a} cdot vec{b}}$，其坐标为：

$$ frac{vec{a}}{|vec{a}|} = (x_a, y_a) $$

$$ frac{vec{b}}{|vec{b}|} = (x_b, y_b) $$

向量平方

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的平方结果是一个长度为1的向量，其方向由$vec{a}$和$vec{b}$的夹角决定。这个向量的模长等于$sqrt{vec{a} cdot vec{b}}$，其坐标为：

$$ vec{a}^2 = (x_a^2 + y_a^2) $$

$$ vec{b}^2 = (x_b^2 + y_b^2) $$

向量模长

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的模长分别为：

$$ |vec{a}| = 1 $$

$$ |vec{b}| = 1 $$

向量点积

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的点积为：

$$ vec{a} cdot vec{b} = 1 $$

向量叉乘

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的叉乘为：

$$ vec{a} times vec{b} = (1, 0) $$

向量数乘

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的数乘为：

$$ vec{a} cdot vec{b} = 1 $$

向量除法

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的除法为：

$$ frac{vec{a}}{|vec{a}|} = (1, 0) $$

$$ frac{vec{b}}{|vec{b}|} = (1, 0) $$

向量平方

两个长度为1的向量$vec{a}$和$vec{b}$的平方为：

$$ vec{a}^2 = (1, 0) $$

$$ vec{b}^2 = (1, 0) $$

结论

通过上述分析，我们可以看出，两个长度为1的平面向量$vec{a}$和$vec{b}$具有以下性质：

• 它们的方向由各自的坐标确定。
• 它们的模长都是1。
• 它们的点积等于1。
• 它们的叉乘结果是一个单位向量。
• 它们的数乘结果仍然是单位向量。
• 它们的除法结果是一个单位向量。
• 它们的平方结果仍然是一个单位向量。