探究向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的相等性问题

探究向量 $overrightarrow{OA}$ 与 $overrightarrow{OB}$ 的相等性问题，我们首先需要明确几个基本概念。

1. 向量的定义：向量是数学中的一个基本概念，它代表了一个物理量在某一时刻的大小和方向。例如，$vec{a} = (3, -2)$ 是一个三维向量，表示一个有大小为3、方向为从原点指向x轴正半轴的向量。

2. 向量相等的条件：两个向量相等，意味着它们具有相同的大小（模）和相同的方向。用数学语言表达就是：如果存在一个标量 $k$ 使得 $vec{k} = vec{a}$ 或者 $vec{k} = vec{b}$，则称这两个向量相等。

3. 向量的加法：向量的加法遵循平行四边形法则，即 $vec{a} + vec{b} = lambdavec{a} + (1-lambda)vec{b}$，其中 $lambda$ 是任意实数。

4. 向量的减法：向量的减法也遵循平行四边形法则，即 $vec{a}
• vec{b} = lambdavec{a} - (1-lambda)vec{b}$。

现在，让我们逐步推导探究向量 $overrightarrow{OA}$ 与 $overrightarrow{OB}$ 是否相等的问题。

假设条件

假设向量 $overrightarrow{OA}$ 和 $overrightarrow{OB}$ 分别表示不同的向量，且它们的模长相同。我们的目标是证明这两个向量相等。

第一步：分析向量的模长

由于 $overrightarrow{OA}$ 和 $overrightarrow{OB}$ 的模长相同，我们可以设这个模长为 $|overrightarrow{OA}| = |overrightarrow{OB}|$。

第二步：验证向量的方向

要证明两个向量相等，我们需要确保这两个向量的方向也相同。为此，我们可以使用向量的加法和减法来验证这一点。

加法验证

考虑向量 $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}$。根据平行四边形法则，我们有：

$$

overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} = (overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}) = lambda(overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}) + (1-lambda)(overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB})

$$

由于 $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB}$ 是零向量（因为 $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} = 0$），所以上式变为：

$$

overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} = 0

$$

这意味着 $overrightarrow{OA} = -overrightarrow{OB}$。

减法验证

考虑向量 $overrightarrow{OA}
• overrightarrow{OB}$。根据平行四边形法则，我们有：

$$

overrightarrow{OA}
• overrightarrow{OB} = (overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB}) = lambda(overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB}) + (1-lambda)(overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB})

$$

同样地，$overrightarrow{OA}
• overrightarrow{OB}$ 是零向量（因为 $overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB} = 0$），所以上式变为：

$$

overrightarrow{OA}
• overrightarrow{OB} = 0

$$

这意味着 $overrightarrow{OA} = overrightarrow{OB}$。

结论

通过上述分析和推导，我们证明了当两个向量的模长相同时，只要它们的方向相同，这两个向量就相等。因此，$overrightarrow{OA}$ 与 $overrightarrow{OB}$ 是相等的。